曾國平

美國維珍尼亞理工大學經濟系副教授。

學而優則賭故事

 

數學、賭博、投資三者有着微妙關係,各種賭博玩意皆可用或然率分析,算出贏錢輸錢機會;金融學用數學不比經濟學少,投資銀行聘請數學家、物理學家當然更是常事。最近讀完一本2005年出版的舊書《財富公式》(Fortune's Formula,作者科普作家William Poundstone),講述的正是象牙塔學者尋找「致富之道」的故事。

 

話說在1948年,數學家山農(Claude Shannon,1916─2001)發表了一篇學術文章,提出了一套有關資訊傳達的架構,創立了後來名為「資訊理論」(information theory)的新學科。理論相當技術性,讓我舉個簡單例子說個大概:你跟女朋友在嘈吵的餐廳吃飯,你想講一聲「我愛你」,為免誤會你將同一句話講了3次;女朋友聽到的卻是「我愛你」、「我想死」、「我愛你」,根據常理推斷你想說的是「我愛你」。山農利用數學證明,兩人之間可以建立出一套複雜的編碼系統,無論餐廳有多嘈吵,毋須重複3次,只要講出3個字的編碼就能準確傳達「我愛你」的訊息。

 

大家可以想像山農的理論對資訊科技有重大影響,未必想像到的是8年後科學家凱利(John Kelly, Jr.,1923-1965)從中得到啟發,創立出一套賭博與投資理論。賽馬日,你手頭上有1萬元賭本,每一場馬你都相信眼光比大眾判斷(亦即賠率)要準確。問題是這1萬元應該如何投注?凱利的答案不是只向心水馬匹落注,而是將1萬元全數投資在所有馬匹之上,投注額根據你的判斷決定(如你認為某一匹馬勝出機會最高,投注最多)。凱利用數學證明,只要你的眼光比大眾準確加上馬會食水不深,這套後來稱為「凱利準則」(Kelly Criterion)的投注方法會令你的財富增加得最快兼保證不會輸清光(總有一匹馬會勝出)。同樣道理,也能應用到股票投資之上。

 

山農性格孤僻古怪,凱利煙酒不離口,都是難得一見勇於走出象牙塔的天才,但真正將「凱利準則」實踐發揚光大的,是有過目不忘能力的數學家索普(Edward Thorp)。同樣受山農啟發,索普在六十年代用數學分析廿一點的最佳策略,並親身到拉斯維加斯賭場實踐,贏了大錢。後來索普轉戰股票市場,成立了一隻相當成功的對沖基金,據說有接近30年時間每年平均回報20%,賺了更多更多的錢。今時今日,索普已成了「凱利準則」的金漆招牌,也是學者化理論為實踐發達的勵志例子(碰巧幾星期前他出版自傳,題為A Man For All Markets,記述的正是其輝煌賭博投資戰績)。

 

「凱利準則」一度被經濟學者視為異端邪說,最落力批評的是以「毒舌」聞名的諾獎得主森穆遜(Paul Samuelson)。森穆遜認為這班「凱利準則」的信徒太蠢,對經濟學一竅不通,在1979年故意「玩嘢」以單音英文字寫成一篇學術文章反駁,理由是怕智力有限的信徒看不懂太複雜的英文字(老實說,這篇回應今天看來頗為無聊幼稚)。

 

經濟學角度看「凱利準則」

 

「凱利準則」令財富增加最快兼不會輸清光,聽來吸引又合理,森穆遜何以視之為謬誤?主要原因是遵從「凱利準則」雖然不會輸清光,但經常要下相當巨大的賭注,財富短時間內可以像過山車般大起大跌,緊張刺激非人人承受得了,欠缺賭徒精神的投資者應採用比「凱利準則」更合適的投資方法(再準確專門一點的講法,是「凱利準則」不過是將預期對數功用最大化(expected logarithmic utility maximization),不是唯一答案,更不一定是最佳答案)。異端邪說不再,近年跟「凱利準則」有關的經濟金融分析漸漸在主流學報出現,山農的「資訊理論」同時又在分析預期和決策行為上影響甚深。

 

香港亞太研究所經濟研究中心成員/美國維珍尼亞理工大學經濟系副教授/城市及地區禦險力環球論壇附屬學者

http://www.facebook.com/economics3.⋯⋯

 

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